An adaptive enrichment algorithm for advection-dominated problems

We are interested in developing a numerical framework well suited for advectiondiffusion problems when the advection part is dominant. In that case, given Dirichlet type boundary condition, it is well known that a boundary layer develops. In order to resolve correctly this layer, standard methods consist in increasing the mesh resolution and possibly increasing the formal accuracy of the numerical method. In this paper, we follow another path: we do not seek to increase the formal accuracy of the scheme but, by a careful choice of finite element, to lower the mesh resolution in the layer. Indeed the finite element representation we choose is locally the sum of a standard one plus an enrichment. This paper proposes such a method and with several numerical examples, we show the potential of this approach. In particular we show that the method is not very sensitive to the choice of the enrichment. Key-words: enrichment, adaptivity, stabilized finite elements, XFEM, boundary-layer ∗ Bacchus Team, INRIA Bordeaux Sud-Ouest, 351 cours de la libération, 33400 Talence, France † Institut de mathématiques de Bordeaux, Univ. Bordeaux, 351 cours de la liberation, 33400 Talence, France ha l-0 06 65 52 4, v er si on 1 2 Fe b 20 12 Un algorithme d’enrichissement adaptatif pour les problèmes où l’advection domine. Résumé : Nous nous intéressons à developper un cadre numérique adapté aux problems d’advection-diffusion lorsque l’advection est dominante. Dans ce cas, étant données des conditions au bord de type Dirichlet, il est connu qu’une couche limite se développe. Pour résoudre correctement cette couche, les méthodes standardes consistent à augmenter la résolution du maillage et éventuellement l’ordre formel de la méthode numérique. Dans ce papier, nous suivons une autre voie: nous ne cherchons pas à augmenter l’ordre formel du schéma, mais à baisser la résolution du maillage dans la couche limite par un choix judicieux des éléments finis utilisés. En effet, nous choisissons une représentation par éléments finis qui soit la somme d’une approximation classique plus une fonction d’enrichissement. Ce papier proposes une telle méthode et montre le potentiel de cette approche avec de nombreux exemples numériques. En particulier, nous montrons que cette méthode n’est pas trop sensible au choix de l’enrichissement. Mots-clés : enrichissement, adaptation, éléments finis stabilisés, XFEM, couche-limite ha l-0 06 65 52 4, v er si on 1 2 Fe b 20 12 Adaptive enrichment 3